Новости
Научная статья. Математическая модель задачи об опускании возвышенности над землей под действием силы тяжести
2 ноября 2017, 15:55

Автор статьи: специалист Куралбаев Зауытбек Куралбаевич

Алматинский университет энергетики и связи, г. Алматы, Казахстан

 

АннотацияСтатья посвящена одной из актуальных проблем - созданию математической модели изменения поверхности земной структуры под воздействием силы тяжести, когда происходит изменение значения вязкостных свойств ее грунтов.  Для описания данного процесса использована физическая модель сильновязкой жидкости.  Предполагается, что вертикальные размеры рассматриваемой структуры малы в сравнении с ее горизонтальными размерами. Поэтому используются известные в гидромеханике допущения «мелкой воды», вследствие чего допущения получено дифференциальное уравнение параболичекого типа для описания изменения свободной поверхности земной структуры. На основе разработанной математической модели поставлены две математические задачи, связанные с решением линейного и квазилинейного уравнений параболического типа. Получено аналитическое решение задачи в линейной постановке, где  результаты решения  представлены в виде графиков, описывающих изменение свободной поверхности в зависимости от времени для различных значений динамического  коэффициента вязкости.

Ключевые слова: математическая модель, земная структура, оползень, вязкая модель, линейное и квазилинейное уравнение параболического типа, постановка математических задач.

 

Постановка  проблемы. Пусть рассматривается некоторая структура на земной поверхности,  часть которой  возвышена над горизонтом, а часть - опущена. Обычно данная структура за длительное время незначительно меняет свою форму. Однако под воздействием природных или иных причин могут происходить процессы, приводящие к некоторым изменениям, порой значительным. Одним из таких процессов может быть оползень грунта. Это означает, что в определенных условиях материалы, составляющие этой земной структуры, могут  быть подвижными, т. е. возвышенности могут опускаться вниз под действием собственного веса, а опущенные части этой структуры могут заполняться за счет опускаемых с возвышенностей материалами.

 Очевидно, что изучение такого процесса является актуальной проблемой.  В данном случае требуется определить закономерность движения материалов этой возвышенности. Решение такой задачи может быть использовано для описания процессов, происходящих в земной коре, в частности, для описания  оползней, происходящих в таких земных структурах при возникновении ползучести грунта из-за уменьшения вязкости среды, приводящей к ослаблению ее устойчивости.

Основанием выбора модели сильновязкой жидкости являются результаты исследований, связанных с определением механических свойств горных пород,  в частности, результаты, опубликованные в работах академика Ж. С. Ержанова [1, 2], а также других авторов. Использование такого подхода,  как  метод «мелкой воды»,  позволяет упростить решения сложных задач гидродинамики.  Примером  успешного применения данного метода  могут служить различные исследования, в частности, природу возникновения  цунами.  Результаты  исследований  подобных сложных процессов представлены в работе М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата [3].

В работе [5, 6] было показано, что возникновение подобных земных структур как возвышенности в сочетании с опущениями могут быть результатом тектонических процессов, происходящих в недрах Земли. При этом форма этой структуры в первом приближении была  описана с помощью следующей функции [5]:

                                                                      (1)

где   максимальная высота, некоторый постоянный параметр, определяющий горизонтальный размер возвышенности. Здесь принята  прямоугольная система координат  в которой горизонтальные оси, вертикальная ось; ось  направлена вверх, обратно направлению вектора силы тяжести  Данная функция   описывает свободную поверхность рассматриваемой возвышенности.                                                                                

Как было отмечено выше, такие структуры (возвышенности) на поверхности Земли существуют достаточно долгое время практически без особых изменений; такое положение существует до тех пор, пока вязкостные свойства породы (грунта), составляющие ее, будут  неизменными. В случае уменьшения вязкости под воздействием природных или иных причин могут происходить некоторые движения под действием собственного веса, приводящие к опусканию вниз пород и к изменению формы возвышенности.

Постановка задачи. С целью описания процесса опускания возвышенности, происходящего из-за уменьшения вязкости грунта,  рассматривается следующая задача механики. Предполагается, что на твердом неподвижном основании залегает однородный  вязкий слой с плотностью ,  свободная поверхность которого имеет форму, заданную   функцией (1). Считается, что  в некоторый момент времени происходит уменьшение вязкости, т. е. уменьшается значение динамического коэффициента вязкости   

Требуется составить математическую модель данной задачи механики, описывающую механизм рассматриваемого процесса.

Математическая модель.  Также как и в работе [5]  предполагается, что толщина и амплитуда поднятия  (опускания) свободной поверхности слоя малы в сравнении с характерными   для него горизонтальными размерами. Кроме этого, считается, что динамический коэффициент вязкости материала слоя  (грунта) имеет очень большие значения. Эти допущения позволяют рассматривать задачу гидродинамики сильновязких жидкостей или рассматривать «ползущие» движения в вязком слое.

                                                                   (3)

Полученное уравнение (3) является квазилинейным уравнением параболического типа относительно функции   

Решение уравнения (3) позволяет получить картину изменения свободной поверхности рассматриваемой структуры, вычислить значения скоростей движения материалов слоя по формулам (2).

Очевидно, что начальным условием (для t=0)  для решения уравнения (3) будет следующее условие:

                                                       (4)

Математическая постановка задачи. На основе полученной математической модели задачи может быть сформулирована математическая постановка задачи  в следующей редакции: требуется найти такое решение уравнения параболического типа (3), удовлетворяющее начальному условию (4) и граничным условиям (5).  Решение данной задачи ищется   в следующей области:

 

Здесь  - некоторый период времени, когда рассматривается данный процесс, происходящий с опусканием материалов (грунта) возвышенности. Для численной реализации решения этой задачи вместо знака бесконечности рассматривается некоторое конечное число   Тогда область интегрирования будет записана в следующем виде:

          

Частный случай, когда  Пусть теперь рассматривается случай, когда      В этом случае графики функции  для тех же моментов времени будут следующими:

 

Рисунок 1 – Положение свободной границы для моментов времени  для  значения    

Наивысшая высота возвышенности имеет следующие значения в следующих моментах времени:

t

0

0,1

0,5

1,0

 

1,0

0,8668

0,5443

0,3536

 

  Заключение. Разработаны математические модели поставленной задачи об опускании возвышенности на поверхности Земли под воздействием силы тяжести в случае уменьшения динамического коэффициента вязкости грунта. Использование  сильновязкой модели для описания ползущего движения грунта и допущений «мелкой воды» позволило создать два вида математических моделей данного процесса: линейная и квазилинейная модели.

 На основе разработанных математических моделей были сформулированы математические задачи, связанные с решением линейного и квазилинейного уравнений параболического типа.

 

 При одинаковых значениях всех параметров, кроме динамического коэффициента вязкости, между этим параметром  и динамическим коэффициентом вязкости  существует  обратная пропорциональная зависимость. Поэтому  меньшее значение этого параметра означает, что динамический коэффициент вязкости больше;  во втором частном случае коэффициент  вязкости  выше, чем в первом случае. Сравнение этих двух частных случаев показывает, что при меньшем значении динамического коэффициента вязкости материала опускание  происходит значительно, чем при большем  его значении.